如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，且AB=5，sinB= ．

（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD= ；
Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；
OA=AD﹣OD=2，即：
A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣3），得：
2×（﹣3）a=4，a=﹣ ；
∴抛物线：y=﹣ x ² + x+4．
（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：y ₁ =﹣ x﹣ ；
由（1）得：y ₂ =﹣ x ² + x+4，则：
，解得： ， ；
由图可知：当y ₁ ＜y ₂ 时，﹣2＜x＜5．
（3）∵S _{△ APE} = AE•h，
∴当P到直线AB的距离最远时，S _{△ ABC} 最大；
若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；
设直线L：y=﹣ x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，
﹣ x+b=﹣ x ² + x+4，且△=0；
求得：b= ，即直线L：y=﹣ x+ ；
可得点P（ ， ）．
由（2）得：E（5，﹣ ），则直线PE：y=﹣ x+9；
则点F（ ，0），AF=OA+OF= ；
∴△PAE的最大值：S _{△ PAE} =S _{△ PAF} +S _{△ AEF} = × ×（ + ）= ．
综上所述，当P（ ， ）时，△PAE的面积最大，为 ．


（1）由菱形ABCD的边长和一角的正弦值，可求出OC．OD．OA的长，进而确定A．C．D三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式．
（2）首先由A．B的坐标确定直线AB的解析式，然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点，然后通过观察图象找出直线y ₁ 在抛物线y ₂ 图象下方的部分．
（3）该题的关键点是确定点P的位置，△APE的面积最大，那么S _{△ APE} = AE×h中h的值最大，即点P离直线AE的距离最远，那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点．