12+1+1 |
12+1 |
22+2+1 |
22+2 |
32+3+1 |
32+3 |
n2+n+1 |
n2+n |
hudiewang4 幼苗
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1 |
1+x |
−x |
1+x |
ln(x+1) |
x |
12+1+1 |
12+1 |
22+2+1 |
22+2 |
32+3+1 |
32+3 |
n2+n+1 |
n2+n |
1 |
12+1 |
1 |
22+2 |
1 |
n2+n |
(1)∵f(x)=ln(x+1)-ax(a∈R),a=1,
∴f′(x)=
1
1+x−1=
−x
1+x,
由f′(x)=
−x
1+x>0,得-1<x<0;由f′(x)=
−x
1+x<0,得x>0;
所以y=f(x)在(-1,0)为增,在(0,+∞)为减,
所以x=0时,f(x)取最大值0.
(2)y=f(x)在x∈[1,+∞)上恒有f(x)<0,
等价于a>
ln(x+1)
x恒成立,
设g(x)=
ln(x+1)
x⇒g′(x)=
x
1+x−ln(x+1)
x2,
设h(x)=
x
1+x−ln(x+1)⇒h′(x)=
1
(1+x)2−
1
1+x=
−x
(1+x)2<0(x≥1),
所以h(x)是减函数,所以h(x)≤h(1)=
1
2−ln2<0(4>e⇒2>e
1
2),
所以g(x)是减函数,gmax(x)=g(1),所以a>ln2
(3)要证
12+1+1
12+1•
22+2+1
22+2•
32+3+1
32+3•…•
n2+n+1
n2+n<e,
只需证ln
12+1+1
12+1+ln
22+2+1
22+2+…+ln
n2+n+1
n2+2<1
只需证ln(1+
1
12+1)+ln(1+
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题;对数函数图象与性质的综合应用.
考点点评: 本题考查函数的最大值的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,考查不等式的证明.解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.
1年前
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