设O为坐标原点，曲线x 2 ＋y 2 ＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q，满足关于直线x＋my＋4＝0对称，又满足·＝0
| 设O为坐标原点，曲线x 2 ＋y 2 ＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q，满足关于直线x＋my＋4＝0对称，又满足·＝0. (1)求m的值； (2)求直线PQ的方程． |
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(1)曲线方程为(x＋1) 2 ＋(y－3) 2 ＝9表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆．
∵点P、Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，
∴圆心(－1,3)在直线上．代入得m＝－1.
(2)∵直线PQ与直线y＝x＋4垂直，
∴设P(x 1 ，y 1 )、Q(x 2 ，y 2 )，PQ方程为y＝－x＋b.
将直线y＝－x＋b代入圆方程，
得2x 2 ＋2(4－b)x＋b 2 －6b＋1＝0.
Δ＝4(4－b) 2 －4×2×(b 2 －6b＋1)>0，
得2－3由韦达定理得x 1 ＋x 2 ＝－(4－b)，x 1 ·x 2 ＝.
y 1 ·y 2 ＝b 2 －b(x 1 ＋x 2 )＋x 1 ·x 2 ＝＋4b.
∵·＝0，∴x 1 x 2 ＋y 1 y 2 ＝0，即b 2 －6b＋1＋4b＝0.
解得b＝1∈(2－3，2＋3)．
故所求的直线方程为y＝－x＋1.
略
∵点P、Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，
∴圆心(－1,3)在直线上．代入得m＝－1.
(2)∵直线PQ与直线y＝x＋4垂直，
∴设P(x 1 ，y 1 )、Q(x 2 ，y 2 )，PQ方程为y＝－x＋b.
将直线y＝－x＋b代入圆方程，
得2x 2 ＋2(4－b)x＋b 2 －6b＋1＝0.
Δ＝4(4－b) 2 －4×2×(b 2 －6b＋1)>0，
得2－3
y 1 ·y 2 ＝b 2 －b(x 1 ＋x 2 )＋x 1 ·x 2 ＝＋4b.
∵·＝0，∴x 1 x 2 ＋y 1 y 2 ＝0，即b 2 －6b＋1＋4b＝0.
解得b＝1∈(2－3，2＋3)．
故所求的直线方程为y＝－x＋1.
略
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