数列与数学归纳法综合题：在1与9之间插入2n-1个正数,使1,a1,a2...a(2n-1),9成等比数列

已知f（n）=a1*a2*a3...*a（2n-1） 则f(n)*f(n)= a1*a2*a3...*a（2n-1） * a（2n-1）*a（2n-2）*……*a1
=(a1*a（2n-1）)*(a2*a（2n-2）)……*(a（2n-1）*a1)
=(1*9)*(1*9)……(1*9)*(1*9) （2n-1个）=9^(2n-1)
=> f(n)=3^(2n-1)又知g（n）=b1+b2+b3.+b（2n-1）则
g(n)+g(n)= b1+b2+...+b(2n-1) + b(2n-1)+b(2n-2)+……+b1
=(b1+b（2n-1）)+(b2+b（2n-2）)……+(b（2n-1）+b1)
=(1+9)+(1+9)……+(1+9) （2n-1个）
=10*(2n-1)=> g(n)=5(2n-1) （2）设F（n）=9*f(n)+4*g(n)+17 则由上问得F（n）=9*3^(2n-1)+4*5(2n-1)+17 =3^(2n+1)+40n-3若存在最大自然数m,使对于n∈正整数都有F（n）被m整除则当n=1时,F（n）被m整除也成立而F（1）=3^(2*1+1)+40*1-3=64 则能整除F（n）的最大自然数m为64现在只要证明 F（n）=3^(2n+1)+40n-3 能被64整除就可以了 F（n）=3^(2n+1)+40n-3 =（4-1）^(2n+1)+40n-3用二次项定理展开（4-1）^(2n+1)将含有4^3 即64 因子的项忽略（他们的代数和一定能被64整除）,剩下的部分是 -n(2n+1)*16 + 4(2n+1) -1 = -32n^2-16n+8n+4-1 = -32n^2-8n+3则 F（n） =（4-1）^(2n+1)+40n-3 中将含有4^3 即64 因子的项忽略,剩下的部分是-32n^2-8n+3 + 40n-3 = -32n^2-32n = -32n(n-1)由于n(n-1)必为偶数,即含有因数2
所以 -32n(n-1)能被64整除 即对于n∈正整数都有F（n）被64整除最大自然数m为64 题比较繁琐,不懂欢迎追问!