（2012•济宁一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为22，以椭圆C的短轴为直径的圆的方程为x
（2012•济宁一模）已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离心率为
，以椭圆C的短轴为直径的圆的方程为x2+y2=1．
（I）求椭圆C的方程；
（II）圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于不同的两点A、B，求△AOB面积的最大值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（I）求椭圆C的方程；
（II）圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于不同的两点A、B，求△AOB面积的最大值．
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解题思路：（I）利用椭圆的离心率即椭圆的短轴长，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（II）分类讨论，设出直线方程，求出|AB|的最大值，即可求得△AOB面积的最大值．
（II）分类讨论，设出直线方程，求出|AB|的最大值，即可求得△AOB面积的最大值．
（I）∵椭圆C：
x2
a2+
y2
b2＝1（a＞b＞0）的离心率为
2
2，以椭圆C的短轴为直径的圆的方程为x2+y2=1，
∴
c
a＝
2
2，b=1
∴a2=b2+c2
∴c=1，a=
2，
∴椭圆C的方程为
x2
2+y2＝1；
（II）斜率存在时，设直线l：y=kx+b是圆的一条切线，则
|b|
1+k2＝1，∴|b|=
1+k2
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
直线l方程代入椭圆方程，整理可得（1+2k2）x2+4kbx+2b2-2=0
∴x1+x2=-
4kb
1+2k2，x1x2=
点评：
本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．
考点点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
1年前
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