如图，已知PA切⊙O于A，∠APO=30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算[HC−HB/BC]的值

解题思路：连OB、OC、OA，根据切线的性质得到OA⊥PA，即∠PAO=90°，易证得Rt△PAH∽Rt△POA，则PA：PO=PH：PA，即PA²=PH•PO，由切割线定理得PA²=PB•PC，则有PH•PO=PB•PC，根据三角形相似的判定得到△PBH∽△POC，则∠PBH=∠POC，[BH/OC]=[PB/PO]，即[BH/PB]=[OC/PO]①，根据四点共圆的判定方法得到点H、B、C、O四点共圆，利用在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等得到∠HOB=∠HCB，易证得△PBO∽△PHC，于是有[OB/HC]=[PO/PC]，即[OB/PO]=[HC/PC]②，由①②得[BH/PB]=[HC/PC]，即[HC/BH]=[PC/PB]，利用比例的性质得到[HC−BH/BH]=[PC−PB/PB]=[BC/PB]，则有[HC−HB/BC]=[BH/PB]，由①得[HC−HB/BC]=[OC/PO]=[OA/OP]，在Rt△OAP中，∠APO=30°，则OP=2OA，即可得到[HC−HB/BC]的值．

连接OB、OC、OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠PAO=90°，
而AH⊥OP，
∴∠PHA=90°，
∴Rt△PAH∽Rt△POA，
∴PA：PO=PH：PA，即PA²=PH•PO，
又∵PBC为⊙O的割线，
∴PA²=PB•PC，
∴PH•PO=PB•PC，
∴△PBH∽△POC，
∴∠PBH=∠POC，[BH/OC]=[PB/PO]，即[BH/PB]=[OC/PO]①，
∴点H、B、C、O四点共圆，
∴∠HOB=∠HCB，
∴△PBO∽△PHC，
∴[OB/HC]=[PO/PC]，即[OB/PO]=[HC/PC]②，
由①②得[BH/PB]=[HC/PC]，即[HC/BH]=[PC/PB]，
∴[HC−BH/BH]=[PC−PB/PB]=[BC/PB]，
∴[HC−HB/BC]=[BH/PB]，
∴[HC−HB/BC]=[OC/PO]=[OA/OP]，
∵在Rt△OAP中，∠APO=30°，则OP=2OA，
∴[HC−HB/BC]=[1/2]．

点评：
本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；四边形的对角互补，则四点在同一个圆上；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等；利用相似三角形的判定与性质证明比例线段，运用比例的性质以及含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算．