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∵AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形,∠C为直角.
(1)BP=2t,则AP=10-2t.
∵PQ∥BC,∴[AP/AB=
AQ
AC],即[10−2t/10=
2t
8],解得t=[20/9],
∴当t=[20/9]s时,PQ∥BC.
(2)如答图1所示,过P点作PD⊥AC于点D.
∴PD∥BC,
∴[AP/AB=
PD
BC],
即[10−2t/10=
PD
6],
解得PD=6-[6/5]t.
S=[1/2]×AQ×PD=[1/2]×2t×(6-[6/5]t)
=-[6/5]t2+6t
=-[6/5](t-[5/2])2+[15/2],
∴当t=[5/2]s时,S取得最大值,最大值为[15/2]cm2.
(3)假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分,
则有S△AQP=[1/2]S△ABC,而S△ABC=[1/2]AC•BC=24,∴此时S△AQP=12.
由(2)可知,S△AQP=-[6/5]t2+6t,
∴-[6/5]t2+6t=12,化简得:t2-5t+10=0,
∵△=(-5)2-4×1×10=-15<0,此方程无解,
∴不存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分.
(4)假设存在时刻t,使四边形AQPQ′为菱形,则有AQ=PQ=BP=2t.
如答图2所示,过P点作PD⊥AC于点D,则有PD∥BC,
∴[AP/AB=
PD
BC=
AD
AC],即[10−2t/10=
PD
6=
AD
8],
解得:PD=6-[6/5]t,AD=8-[8/5]t,
∴QD=AD-AQ=8-[8/5]t-2t=8-[18/5]t.
在Rt△PQD中,由勾股定理得:QD2+PD2=PQ2,
即(8-[18/5]t)2+(6-[6/5]t)2=(2t)2,
化简得:13t2-90t+125=0,
解得:t1=5,t2=[25/13],
∵t=5s时,AQ=10cm>AC,不符合题意,舍去,∴t=[25/13].
由(2)可知,S△AQP=-[6/5]t2+6t,
∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×(-[6/5]t2+6t)=2×[-[6/5]×([25/13])2+6×[25/13]]=[2400/169](cm2).
所以存在时刻t,使四边形AQPQ′为菱形,此时菱形的面积为[2400/169]cm2.
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;一元二次方程的应用;二次函数的最值;勾股定理;勾股定理的逆定理;菱形的性质;翻折变换(折叠问题).
考点点评: 本题是非常典型的动点型综合题,全面考查了相似三角形线段比例关系、菱形的性质、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法与判别式、二次函数的极值等知识点,涉及的考点众多,计算量偏大,有一定的难度.本题考查知识点非常全面,是一道测试学生综合能力的好题.
1年前
1年前1个回答
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