（2010•徐汇区一模）圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂
（2010•徐汇区一模）圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（x0，y0）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）．（1）试用x0，y0，m，n的代数式分别表示xE和xF；
（2）若C的方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究xE和xF经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与MN和点P位置无关的定值，写出你的研究结论并证明．
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解题思路：（1）求出PM 直线的方程，令y=0，求出xE，同理求得xF ．
（2）由（1）可知：xE•xF＝
．把M，P坐标代入椭圆的方程，求出n2，y02 代入
xE•xF的式子，化简可得结论．
（3）第一层次：①点P是圆C：x2+y2=R2上不与坐标轴重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE•xF =R2 ．证法同（2）．
②点P是双曲线C：
−
＝1(a＞0，b＞0)上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE•xF=a2 ．证法同（2）．
第二层次：点P是抛物线C：y2=2px（p＞0）上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE+xF =0．
（2）由（1）可知：xE•xF＝
| m2y02−n2x02 |
| y02−n2 |
xE•xF的式子，化简可得结论．
（3）第一层次：①点P是圆C：x2+y2=R2上不与坐标轴重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE•xF =R2 ．证法同（2）．
②点P是双曲线C：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE•xF=a2 ．证法同（2）．
第二层次：点P是抛物线C：y2=2px（p＞0）上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE+xF =0．
（1）因为MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，所以，N（m，-n），
则lMP：y−n＝
y0−n
x0−m(x−m)． 令y=0，则xE＝
my0−nx0
y0−n．
同理可得：xF＝
my0+nx0
y0+n．
（2）由（1）可知：xE•xF＝
m2y02−n2x02
y02−n2．∵M，P在椭圆C：
x2
a2+
y2
b2＝1上，
∴n2＝b2(1−
m2
a2)，y02＝b2(1−
x02
a2)，
则xE•xF＝
m2b2(1−
x02
a2)−b2(1−
m2
a2)x02
b2(1−
x02
点评：
本题考点： 椭圆的简单性质．
考点点评： 本题考查椭圆、圆、双曲线、抛物线的简单性质，以及求直线和二次曲线的交点坐标的方法．
1年前
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