（本小题满分12分）一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得
| （本小题满分12分） 一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到  ，记为 ；②当从A口输入自然数 时，在B口得到的结果 是前一个结果 的 倍.（1）当从A口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？试猜想 的关系式，并证明你的结论；（2）记  为数列 的前 项的和。当从B口得到399的倒数时，求此时对应的 的值. |
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（1）由已知得
当
时，
， 1分
同理可得
……………（ 2分）
猜想
……………（2分）
下面用数学归纳法证明
成立
①当
时，由上面的计算结果知 成立
②假设
时， 成立，即
，
那么当
时，
即
当 时， 也成立
综合①②所述，对
，
成立。
……………（ 4分）
（2）由（1）可得
……………（2分）
……………（2分）
略
当
时，
， 1分同理可得
……………（ 2分） 猜想
……………（2分）下面用数学归纳法证明
成立①当
时，由上面的计算结果知 成立②假设
时， 成立，即
，那么当
时，
即
当 时， 也成立综合①②所述，对
，
成立。……………（ 4分）
（2）由（1）可得
……………（2分）
……………（2分） 略
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