已知函数f（x）=ax3+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2．

解题思路：（1）欲求函数f（x）的解析式，只须求出切线斜率的值，f（1），列出方程组即可；（2）设过点（2，2）的直线与曲线y=f（x）相切于点（t，f（t）），可得切线方程为y=（3t2-1）x-2t3，由切线过点（2，2）得：t3-3t2+2=0，从而问题转化为方程t3-3t2+2=0的实根个数，利用导数法可求．

（1）f′（x）=3ax²+b，由题知…（1分）


f′(1)=2
f(1)=2-2=0⇒

3a+b=2
a+b=0⇒

a=1
b=-1
∴f（x）=x³-x…（5分）
（2）设过点（2，2）的直线与曲线y=f（x）相切于点（t，f（t）），则切线方程为：y-f（t）=f′（t）（x-t）
即y=（3t²-1）x-2t³…（7分）
由切线过点（2，2）得：2=（3t²-1）•2-2t³，过点（2，2）可作曲线y=f（x）的切线条数就是方程t³-3t²+2=0的实根个数…（9分）
令g（t）=t³-3t²+2，则g′（t）=3t（t-2）
由g′（t）=0得t₁=0，t₂=2
当t变化时，g（t）、g′（t）的变化如下表

t （-∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞）
g′（t） + 0 - 0 +
g（t） ↗ 极大值2 ↘ 极小值-2 ↗由g（0）•g（2）=-4＜0知，故g（t）=0有三个不同实根可作三条切线…（13分）

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．