AD是△ABC的角平分线,AD的垂直平分线分别交AB,AC于点E,F,交BC的延长线于G,垂足为H,

连接DF
∵EG垂直平分AD
∴AF=DF AG=DG(中垂线上的点,到线段两个端点的距离相等）
∴△AFD 和△AGD是等腰三角形
∴∠DAC(∠DAF)=∠FDA ∠AGF=∠EGB(∠FGD)
∵AD是△ABC的∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠DAC
∴∠BAD=∠FDA
∴AB∥DF
∴∠EBG=∠FDG
在△AFG和△DFG中
AF=DF AG=DG FG=FG
∴△AFG≌△DFG
∴∠GAF=∠FDG=∠EBG
在△AFG和△BEG中
∠GAF=∠EBG
∠AGF=∠EGB
∴△AFG∽△BEG

ADC=B+BAD
BAD=DAC
ADC=DAG,
CAG=DAG-DAC=ADG-BAD=B
又因AGE=BGE
所以相似

1、已知H为AD中点，而且AD⊥EG，因此△ADG为等腰三角形，GH为∠AGD的角平分线，可知∠AGH=∠DGH；
2、已知AH为∠BAC的平分线，且AH⊥EG，因此△AEF为等腰三角形，∠AEF=∠AFE，可知∠BEG=∠EFC，因为∠EFC=∠AFG，所以∠BEG=∠AFG；
∠AGH=∠DGH，∠BEG=∠AFG
两个三角形的两个对应的内角相等，因此△AFG∽△BEG...

证明：因为G是线段AD垂直平分线上的点
所以角AGF=角BGE
因为角AFG=角DAC+角AHF
所以角BEG=角BAD+角AHE
因为AD是角BAC的角平分线
所以角BAE=角DAC
因为EG垂直于AD
...