有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用a i 和b i ，分别表示
| 有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用a i 和b i ，分别表示第i（I=1，2，3…18）支球队在整个赛程中胜与负的局数．求证：a 1 2 +a 2 2 +…+a 18 2 =b 1 2 +b 2 2 +…+b 18 2 ． |
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由于每支球队都要进行18-1=17场比赛，则对于第i支球队有a i +b i =17，i=1，2，3，…18；由于比赛无平局，故所以参赛队的胜与负的总局数相等，即a 1 +a 2 +…+a 18 =b 1 +b 2 +…b 18．
由（a 1 2 +a 2 2 +…+a 18 2 ）-（b 1 2 +b 2 2 +…+b 18 2 ）
=（a 1 2 -b 1 2 ）+（a 2 2 -b 2 2 ）+…+（a 18 2 -b 18 2 ）
=17×[（a1+a2+…+a18）-（b1+b2+…b18）]
=0．
得a 1 2 +a 2 2 +…+a 18 2 =b 1 2 +b 2 2 +…+b 18 2 ．
由（a 1 2 +a 2 2 +…+a 18 2 ）-（b 1 2 +b 2 2 +…+b 18 2 ）
=（a 1 2 -b 1 2 ）+（a 2 2 -b 2 2 ）+…+（a 18 2 -b 18 2 ）
=17×[（a1+a2+…+a18）-（b1+b2+…b18）]
=0．
得a 1 2 +a 2 2 +…+a 18 2 =b 1 2 +b 2 2 +…+b 18 2 ．
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