帆安 幼苗
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(I)∵对于任意x∈R都有f(1+x)=f(1-x),
∴函数f(x)的对称轴为x=1,得b=-2a.
又函数y=f(x)+2x=ax2+(b+2)x+1为偶函数,
∴b=-2,从而可得a=1.
∴f(x)=x2-2x+1=(x-1)2.
(II)证明:设h(x)=f(x)+g(x)=(x-1)2+1-2x,
∵h(0)=2-20=1>0,h(1)=-1<0,
∴h(0)h(1)<0.
∴函数h(x)在区间[0,1]内必有零点,
又∵(x-1)2,-2x在区间[0,1]上均单调递减,
所以h(x)在区间[0,1]上单调递减,
∴h(x)在区间[0,1]上存在唯一零点.
故方程f(x)+g(x)=0在区间[0,1]上有唯一实数根.
(III)由题可知∴f(x)=(x-1)2≥0.g(x)=1-2x<1,
若有f(m)=g(n),则g(n)∈[0,1),
则1-2n≥0,解得 n≤0.
故n的取值范围是n≤0.
点评:
本题考点: 根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质.
考点点评: 本题考查根的存在性及根的个数判断,考查函数奇偶性的性质,考查学生对问题的理解能力及转化能力,零点存在定理及二次函数的有关性质是解决问题的基础.
1年前
你能帮帮他们吗