f(x)在R上为奇函数,x＞0,f(x)=x^2-2x+3,求f(x)

f(x)在R上为奇函数,x＞0,f(x)=x^2-2x+3,求f(x)
我们老师的解法,我不太明白,
1.设x＜0,则-x＞0
2.所以代入：f(-x)=x^2+2x+3
3.因为f(x)在R上为奇函数
4.所以f(-x)=-f(x)=x^2+2x+3
5.且有f(0)=0
6.所以f(x)=-x^2-2x-3
7.所以当x属于R时,有f(x).（后面就是结果我不写了）
为什么第三步中因为f(x)在R上为奇函数,第四步中就可以得到f(-x)=-f(x)=x^2+2x+3?
我还想问问所设的x和题目的x一样吗?可以设t＜0吗?