如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=
如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC，（1）求证：AC⊥平面DEF；
（2）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由；
（3）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．
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解题思路：（1）要证AC⊥平面DEF，先证AC⊥DE，再证AC⊥EF，即可；
（2）M为BD的中点，连CM，设CM∩DE=O，连OF，只要MN∥OF即可，求出CN；
（3）分别计算面积，利用面积比，即可求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．
（2）M为BD的中点，连CM，设CM∩DE=O，连OF，只要MN∥OF即可，求出CN；
（3）分别计算面积，利用面积比，即可求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．
（1）证明：取AC的中点H，连接BH，
∵AB=BC，∴BH⊥AC．
∵AF=3FC，∴F为CH的中点．
∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥AC．
∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF；
（2）存在这样的点N，当CN=[3/8]CA时，MN∥平面DEF．
连CM，设CM∩DE=O，连OF．
由条件知，O为△BCD的重心，CO=[2/3]CM．
所以当CF=[2/3]CN时，MN∥OF．所以CN=[3/2•
1
4]CA=[3/8]CA
（3）设AB=BC=2a，则DE=
3a，EF=
2
2a，
∴S△DEF=
1
2•
3a•
2
2a=
6
4a2，
∵S△ABD=[1/2•2a•2a＝2a2
∴平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为
6
8]．
点评：
本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
考点点评： 本题考查线面垂直，线面平行，考查面面角，考查逻辑思维能力，属于中档题．
1年前
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