（本题满分12分）椭圆 E 的中心在坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，离心率为．点 P （1，）、 A 、 B 在椭圆
| （本题满分12分） 椭圆 E 的中心在坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，离心率为．点 P （1，）、 A 、 B 在椭圆 E 上，且 ＋＝m（m ∈ R ）． （1）求椭圆 E 的方程及直线 AB 的斜率； （2）当 m ＝－3时，证明原点 O 是△ PAB 的重心，并求直线 AB 的方程． |
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（1）
;
（2） x +2 y +2=0．
本试题主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用。
（1）由
=
及
解得 a 2 =4， b 2 =3，
椭圆方程为
；再设出点A,B，利用点差法得到斜率。
（2）由（1）知，点 A （ x 1 , y 1 ）、 B （ x 2 , y 2 ）的坐标满足
点 P 的坐标为（1，
）, m =-3，于是 x 1 + x 2 +1=3+ m =0， y 1 + y 2 + =3+
+ =0，
因此△ PAB 的重心坐标为（0，0）．即原点是△ PAB 的重心．
，进而得到直线的方程。
（1）由 = 及 解得 a 2 =4， b 2 =3，
椭圆方程为 ；
设 A （ x 1 , y 1 ）、 B （ x 2 , y 2 ）， 由
得
（ x 1 + x 2 -2， y 1 + y 2 -3）= m （1， ），即
又
，
，两式相减得
;
（2）由（1）知，点 A （ x 1 , y 1 ）、 B （ x 2 , y 2 ）的坐标满足 ，
点 P 的坐标为（1， ）, m =-3，于是 x 1 + x 2 +1=3+ m =0， y 1 + y 2 + =3+ + =0，
因此△ PAB 的重心坐标为（0，0）．即原点是△ PAB 的重心．
∵ x 1 + x 2 =-1， y 1 + y 2 =- ，∴ AB 中点坐标为（
，
），
又 ， ，两式相减得
;
∴直线 AB 的方程为 y +
= （ x +
）,即 x +2 y +2=0．
;（2） x +2 y +2=0．
本试题主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用。
（1）由
=
及
解得 a 2 =4， b 2 =3，椭圆方程为
；再设出点A,B，利用点差法得到斜率。（2）由（1）知，点 A （ x 1 , y 1 ）、 B （ x 2 , y 2 ）的坐标满足
点 P 的坐标为（1，
）, m =-3，于是 x 1 + x 2 +1=3+ m =0， y 1 + y 2 + =3+
+ =0，因此△ PAB 的重心坐标为（0，0）．即原点是△ PAB 的重心．
，进而得到直线的方程。
（1）由
= 及 解得 a 2 =4， b 2 =3，椭圆方程为
；设 A （ x 1 , y 1 ）、 B （ x 2 , y 2 ）， 由
得（ x 1 + x 2 -2， y 1 + y 2 -3）= m （1，
），即 又
，
，两式相减得
;（2）由（1）知，点 A （ x 1 , y 1 ）、 B （ x 2 , y 2 ）的坐标满足
，点 P 的坐标为（1，
）, m =-3，于是 x 1 + x 2 +1=3+ m =0， y 1 + y 2 + =3+ + =0，因此△ PAB 的重心坐标为（0，0）．即原点是△ PAB 的重心．
∵ x 1 + x 2 =-1， y 1 + y 2 =-
，∴ AB 中点坐标为（
，
），又
， ，两式相减得
;∴直线 AB 的方程为 y +
= （ x +
）,即 x +2 y +2=0．
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