已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1

已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．

（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．

cui_lian 1年前已收到1个回答举报

zhangjlf 春芽

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解题思路：（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

＝

，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有[DE/CE＝

AB]，故可求BC的长．

（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，（2分）
因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，
又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，
所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

BC＝

CE，∴BC=CE，（6分）
连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，（8分）
所以[DE/CE＝
CB
AB]，所以BC=2．（10分）

点评：
本题考点：圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．

考点点评：本题考查圆的切线，考查圆内接四边形，解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质．

1年前

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