（2010•杭州一模）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x（x∈R）．

（2010•杭州一模）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期，并求f（x）的最小值．
（Ⅱ）令g(x)＝f(x+
π
8
)−1，若g（x）＜a-2对于x∈[−
π
6
，
π
3
]恒成立，求实数a的取值范围．
zhehaoyuyi 1年前 已收到1个回答 举报
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heyun10321 幼苗

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解题思路：（Ⅰ）化简f（x）的解析式为
2
sin（2x+
π/4]）+1，故f（x）的最小正周期 T=[2π/2]，根据正弦函数的值域求出f（x）的最小值．
（Ⅱ）由题意求得g（x）=
2
cos2x，根据x的范围求得 2x的范围，由此求得g（x）=
2
cos2x 的最大值
2
，
根据题意可得
2
＜a-2，从而求得实数a的取值范围．

（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=
2sin（2x+[π/4]）+1，
∴f（x）的最小正周期 T=[2π/2]=π．由于-1≤sin（2x+[π/4]）≤1，∴1-
2≤f（x）≤
2+1，
故f（x）的最小值是 1-
2．
（Ⅱ）由题意可得 g(x)＝f(x+
π
8)−1=
2sin[2（x+[π/8]）+[π/4]]+1-1=
2cos2x，
∵-[π/6]≤x≤[π/3]，∴-[π

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；函数恒成立问题；三角函数的最值．

考点点评： 本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性以及三角函数的最值，函数的恒成立问题，求出g（x）的解析式是解题的关键．

1年前

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