已知函数f(x)＝ax 3 ＋bx 2 －3x(a、b∈R)在点x＝－1处取得极大值为2.
| 已知函数f(x)＝ax 3 ＋bx 2 －3x(a、b∈R)在点x＝－1处取得极大值为2. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1 、x 2 ，都有|f(x 1 )－f(x 2 )|≤c，求实数c的最小值． |
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（1）f(x)＝x 3 －3x（2）4
(1)f′(x)＝3ax 2 ＋2bx－3.
由题意，得
即
解得
所以f(x)＝x 3 －3x.
(2)令f′(x)＝0，即3x 2 －3＝0，得x＝±1.
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，2)
2
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
－2
增
极大值
减
极小值
增
2
因为f(－1)＝2，f(1)＝－2，所以当x∈[－2，2]时，f(x) max ＝2，f(x) min ＝－2.
则对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1 、x 2 ，都有|f(x 1 )－f(x 2 )|≤|f(x) max －f(x) min |＝4，所以c≥4.所以c的最小值为4.
(1)f′(x)＝3ax 2 ＋2bx－3.
由题意，得
即
解得
所以f(x)＝x 3 －3x.
(2)令f′(x)＝0，即3x 2 －3＝0，得x＝±1.
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，2)
2
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
－2
增
极大值
减
极小值
增
2
因为f(－1)＝2，f(1)＝－2，所以当x∈[－2，2]时，f(x) max ＝2，f(x) min ＝－2.
则对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1 、x 2 ，都有|f(x 1 )－f(x 2 )|≤|f(x) max －f(x) min |＝4，所以c≥4.所以c的最小值为4.
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