如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，连接BM，BM的垂直平分线交BC的延长线于F，连接MF交CD于N．求证：

（1）证明：∵M为AD的中点，
∴AM=DM=[1/2]AD=[1/2]AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF=∠AMB，
∵EF⊥BM，
∴∠A=∠BEF=90°，
∴△EBF∽△AMB，
∴[EF/BE]=[AB/AM]=[2/1]，
∴EF=2BE=BM，
即BM=EF；
（2）证明：过点M作MH⊥BC于点H，
设AB=2a，M是AD的中点，
则EF=BM=
5a，
S_△BMF=[1/2]BM•EF=[5/2]a²，
∵S_△BHM+S_△MHF=[5/2]a²，
∴S_△BHM=a²
∴HF=CF+a，
S_△MHF=[1/2]×2a×（a+FC）=[5/2]a²-a²=[3/2]a²，
解得：FC=[1/2]a，
∵△DMN∽△CFN，
∴DN：CN=DM：CF=a：[1/2a=2：1，
∴DN=2CN．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；正方形的性质．

考点点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形性质等知识点，训练学生是否熟练运用性质进行推理和计算，题目综合性比较强，有一定的难度．

1年前

qweasd241561 幼苗

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证：rt△ABM 'rt△FEB中，∠ABM＝∠EFB（两边相互垂直），
∠AMB＝∠EBF（内错角相等），则二△相似（三个角相等）；
BE∶EF＝AM∶AB＝1∶2（M是正方形边的中点；相似比相等）
∴BM＝2BE＝2×½EF＝EF。

1年前

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momok521 幼苗

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++（1）证明：过E点作EK⊥BC垂足为K ，过M作MH⊥BC垂足为H
∴EK∥AH
∵EF是BM的垂直平分线
∴E是BM中点，
∴EK=1/2AH=AB
∵M是AD中点
∴AM=1/2AD
∴EK=AM
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°
∵EF是BM的垂直...

1年前

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