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bei20 幼苗
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证明(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0,
令x=x,y=[1/x],则f(1)=f(x)+f([1/x])=0,即f([1/x])=-f(x),
(2)∵x>1时,f(x)<0,设任意0<x1<x2,则
x2
x1>1,
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f([1
x1)=f(
x2
x1)<0,
∴f(x2)<f(x1),
∴f(x)在定义域内为减函数;
(3)∵f(
1/2])=1,f([1/x])=-f(x),
∴-f(2)=f([1/2])=1得,
∴f(2)=-1,即有f(2)+f(2)=-2,
∴f(2)+f(5-x)≥-2可化为f(2)+f(5-x)≥f(2)+f(2),
即f(5-x)≥f(2),又f(x)在定义域内为减函数,
∴0<5-x≤2,解得3≤x<5.
∴原不等式的解集为:{x|3≤x<5}.
点评:
本题考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的性质.
考点点评: 本题考查抽象函数及其用,难点在于(2)用单调性的定义证明f(x)在定义域内单调递减时的变化及(3)中对f(2)+f(5-x)≥-2的转化,突出考查化归思想,属于难题.
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