如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB中点，E是AC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角
| 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB中点，E是AC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B． （1）求异面直线AB与DE所成的角； （2）若M，N分别为棱AC，BC上的动点，求△DMN周长的平方的最小值； （3）在三棱锥D-ABC的外接球面上，求A，B两点间的球面距离和外接球体积．  |
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（1）取BC的中点F，连EF，DF则AB ∥ EF，AB与DE所成角即为EF与DE所成角
∵AD=BD= 2
2 ，∠ADB=90°，∴AB=4∴EF=2
又∵DE=DF=2，∴异面直线AB与DE所成角为60°
（2）如图，以C为顶点的侧面展开图，依题意即求DD 1 的长
∵∠ACD=∠BCD=45°，AC=BC=AB，∴∠ACB=60°
∴∠DCD 1 =150°，CD=CD 1 = 2
2
∴ D
D 21 = (2
2 ) 2 + (2
2 ) 2 -2
2 •2
2 cos150°=16+8
3
（3）∵ 2R=
3• (2
2 ) 2 =2
6 ，∴ R=
6 ， V=
4
3 π R 3 =8
6 π ∵ AB=4，R=
6 ，∴ cosθ=
(
6 ) 2 + (
6 ) 2 - 4 2
2•
6 •
6 =-
1
3
∴ θ=π-arccos
1
3 ，∴ A，B两点的球面距离为(π-arccos
1
3 )•
6
∵AD=BD= 2
2 ，∠ADB=90°，∴AB=4∴EF=2
又∵DE=DF=2，∴异面直线AB与DE所成角为60°
（2）如图，以C为顶点的侧面展开图，依题意即求DD 1 的长
∵∠ACD=∠BCD=45°，AC=BC=AB，∴∠ACB=60°
∴∠DCD 1 =150°，CD=CD 1 = 2
2
∴ D
D 21 = (2
2 ) 2 + (2
2 ) 2 -2
2 •2
2 cos150°=16+8
3
（3）∵ 2R=
3• (2
2 ) 2 =2
6 ，∴ R=
6 ， V=
4
3 π R 3 =8
6 π ∵ AB=4，R=
6 ，∴ cosθ=
(
6 ) 2 + (
6 ) 2 - 4 2
2•
6 •
6 =-
1
3
∴ θ=π-arccos
1
3 ，∴ A，B两点的球面距离为(π-arccos
1
3 )•
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你能帮帮他们吗
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