chang_lu 种子
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(1)证明:因为PA⊥ABCD,DE⊂ABCD,
所以PA⊥DE…(1分),
取AD的中点F,连接EF,则EF是梯形ABCD的中位线,
所以EF∥AB且EF=
AB+CD
2=2…(3分),
在Rt△ADC和Rt△DEF中,∠EFD=∠ADC=90°,[EF/DF=
AD
DC=2,
所以△EFD∽△ADC…(5分),
∠FED=∠DAC,所以AC⊥DE…(6分),
因为PA∩AC=A,所以DE⊥平面PAC…(7分).
(2)解法一:由(1)知平面PDE⊥平面PAC…(8分),
设DE∩AC=G,连接PG,在Rt△PAG中作AH⊥PG,垂足为H,则AH⊥平面PDE…(10分),
所以∠APH是PA与平面PDE所成的角…(11分),
由(1)知,在Rt△ADG中,AD=2,tan∠CAD=
CD
AD=
1
2],
所以AG=AD×cos∠CAD=
4
5…(12分),
因为PA⊥ABCD,所以PG=
6
5…(13分),
故PA与平面PDE所成角的正弦值sin∠APH=sin∠APG=
AG
PG=
2
3.…(14分).
解法二:依题意,以A为原点,AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系…(8分),
则直线PA的方向向量为
AP=(0,0,1)…(9分),
依题意,P(0,0,2)、D(2,0,0)、B(0,3,0)、C(2,1,0)、E(1,2,0)…(10分),
从而
DP=(−2,0,2),
DE=(−1,2,0)…(11分),
设平面PDE的一个法向量为
点评:
本题考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.
考点点评: 本题考查直线与平面垂直的证明,考查直线与平面所成的角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意等价转化思想和向量法的合理运用.
1年前
如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PC⊥底面ABCD.
1年前1个回答
1年前1个回答
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形, , ,
1年前1个回答
1年前1个回答
1年前1个回答
1年前1个回答
1年前2个回答
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥CD.
1年前1个回答
你能帮帮他们吗