市场营销人员对过去几年某种商品的价格及销售数量的关系作统计分析，发现有如下规律：该商品的价格上涨x%（x＞0），销售数量

市场营销人员对过去几年某种商品的价格及销售数量的关系作统计分析，发现有如下规律：该商品的价格上涨x%（x＞0），销售数量就减少kx%（其中k为正常数）．已知目前该商品价格为每件a元，其销售数量为b件．
（1）当k=[1/2]时，该商品的价格上涨多少就能使销售总金额达到最大？
（2）为控制物价，物价部门规定该商品涨价幅度不得超过50%．在涨价过程中，求使销售金额不断增加时k的取值范围．

落雪晴空 1年前已收到1个回答举报

冬蓓幼苗

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解题思路：（1）先设该商品价格上涨x%后，销售金额为y元，再写出y的函数解析式，最后求出当k=[1/2]时，y有最大值，即得上涨多少就能使销售总金额达到最大．
（2）根据由（1）得到的函数解析式，再结合二次函数的单调性，得到该函数在（0，50]上单调递增可得k的取值范围．

设该商品价格上涨x%后，销售金额为y元，
则y＝b×(1−kx%)•a×(1+x%)＝ab(1−kx%)(1+x%)

(x＞0)
（1）当k=[1/2]时，y＝
ab
2×10−4[−(x−50)2+22500]
当x=50时，y有最大值，即上涨50%就能使销售总金额达到最大．
（2）y=ab×10-⁴（-kx²+100（1-k）x+10000）a，b，k＞0
由该函数在（0，50]上单调递增可得：
100(1−k)
2k≥50⇒k∈(0，
1
2]

点评：
本题考点：函数模型的选择与应用．

考点点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、二次函数、二次函数的应用、函数单调性的应用等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于基础题．

1年前

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