在正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线

解题思路：如图，易证明BD₁⊥正六边形EFGHIJ，此时在正六边形上有

C

2 6

＝15条直线与直线BD₁垂直．与直线BD₁垂直的平面还有平面ACB、平面NPQ、平面KLM、平面A₁C₁B，共有直线4×

C

2 3

＝12条，而所有的直线共有

C

2 20

−12×(

C

2 3

−1)＝166条，从而求得任取一条，它与对角线BD₁垂直的概率．

如图，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N，P，Q分别为相应棱上的中点，
容易证明BD₁⊥正六边形EFGHIJ，
此时在正六边形上有
C26=15条直线与直线BD₁垂直．
与直线BD₁垂直的平面还有平面ACB、平面NPQ、平面KLM、平面A₁C₁B，
共有直线4×
C23=12条．
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个顶点与各棱的中点共20个点，
任取2点连成直线数为
C220-12×(
C23-1)=166条直线
（每条棱上如直线AE，ED，AD其实为一条），
故对角线BD₁垂直的概率为[15+12/166=
27
166]．
故答案为 [27/166]．

点评：
本题考点： 古典概型及其概率计算公式．

考点点评： 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．

27条符合

27/166

27/166

从20个点中取2个,共190,但每条棱上3点任取2个是重复的,∴分母为190-12+12=166,要与BD1垂直,则应与面A1DC1平行或在其面内,与A1C1平行或重合的有9条,共27条,∴P=27/166