曲线C：f（x）=x3+ax+b关于坐标原点对称，且与x轴相切．

解题思路：（1）利用已知条件，说明函数是奇函数，求出b的值，利用函数与x轴相切，求出a的值即可；
（2）利用h（x）=λ•

f′(x)

x

+sinx的导数，通过曲线上存在相互垂直的两条切线，斜率乘积为-1，通过三角函数的有界性，求实数λ的取值范围；
（3）假设存在m，n符合题意：通过（A）当m＜0时，可得

g(m)＝m g(n)＝n

，即m，n是方程g（x）=x的两个相异负根，推出p（x）=x³-x+3（x＜3），p′（x）故p（x）至多在（-∞，-

3

3

）有一个零点，此时m，n不存在．
通过（B）当m≥0时，因g（x）=3-x³在区间[m，n]上是减函数，利用

g(m)＝n g(n)＝m

⇒

m3+n＝3 n3+m＝3

，与条件矛盾，此时m，n不存在
通过（C）当m＜0≤n时，说明p（x）=x³-x+3在（-∞，-24]上递增，推出无满足m的解，不存在．

（1）由f（-x）=-f（x）可得，b=0，
设曲线C与x轴切于T（t，0），
则

f(t)＝0
f′(t)＝0⇒

t3+at＝0
3t2+a＝0⇒a=t=0⇒f（x）=x³．
（2）h（x）=λ•
f′(x)
x+sinx=3λx+sinx，h′（x）=3λ+cosx（x≠0），
设切点（t₁，h（t₁））（t₂，h（t₂））⇒h′（t₁）•h′（t₂）=-1
则（3λ+cost₁）（3λ+cost₂）=-1，⇒9λ²+3（cost₁+cost₂）λ+cost₁cost₂+1=0．
故△=9（cost₁+cost₂）²-36（cost₁cost₂+1）≥0⇒（cost₁-cost₂）²≥4，
又-1≤cost₁cost₂≤1⇒（cost₁-cost₂）²≤4⇒cost₁-cost₂=4，
此时cost₁=1，cost₂=-1或者cost₁=-1，cost₂=1可得λ=0．
（3）g（x）=

3+x2， x＜0
3−x2 ，x≥0，假设存在m，n符合题意：
（A）当m＜0时，可得

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的定义域及其求法；函数的值域．

考点点评： 本题考查函数的导数与曲线的切线方程的求法，函数的零点，函数的值域的应用，考查分析问题与解决问题的能力，考查分类讨论思想的应用．