一个四棱锥P一ABCD的正视图是边长为2的正方形及其一条对角线，侧视图和俯视图全全等的等腰直角三角形，直角边长为2，直观

（1）由三视图可知，PD⊥平面ABCD，
∴ 四棱锥P-ABCD的体积V=
1
3 S ABCD •PD=
8
3 ；
（2）如图，以D为坐标原点，分别以DP、DC、DA所在
直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设CP中
点为E，则 OE⊥PC，OE⊥BC，所以

OE 是平面PBC的法向量；设AP中点为F，同理
可知

OF 是平面PAB的法向量．
知

OF 是平面PAB的法向量．

OE =(1，1，0)，

OF =(1，0，1) ，
设二面角 C-PB-A的平面角为θ，则|cosθ|=|


OE •

OF
|

OE |•|

OF | =
1
2 ，显然 θ＞
π
2 ，
所以二面角C-PB-A大小为
2π
3 ；
（3）P（2，0，0），B（0，2，2），C（0，2，0），A（0，0，2），∵PMB共线，
∴可设

PM =k•

PB =(-2k，2k，2k)，k∈R，

CM =

CP +

PM =(2-2k，-2+2k，2k) ，

PA =(-2，0，2) ，
∵ CM⊥PA，所以

CM •

PA =8k-4=0 ，∴ k=
1
2 ∴

PM =(-1，1，1)，|

PM |=
3
∴PM的长为
3 时，CM⊥PA

1年前