ax2+1 |
bx+c |
asdse110 幼苗
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ax2+1 |
bx |
x2+1 |
x |
1 |
x |
1 |
x1x2 |
(Ⅰ)由f(x)=
ax2+1
bx+c是奇函数得:f(-x)+f(x)=0,∴
ax2+1
bx+c+
ax2+1
-bx+c=0,∴(ax2+1)
2c
(bx+c)(-bx+C)=0,
解得 c=0,即f(x)=
ax2+1
bx.
又f(1)=2,∴2=
a+1
b, 2b=a+1.
又 f(2)<3,可得[4a+1/2b<3,
4a+1
a+1<3,∴-1<a<2,
∵a∈N,∴a=0或1.
若a=0,则b=
1
2∉N(舍去),∴a=b=1,c=0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=
x2+1
x=x+
1
x],f(x)在(-∞,-1]上单调递增.
下用定义证明:设x1<x2≤-1,则:f(x1)-f(x2)=x1+
1
x1-(x2+
1
x2)=x1-x2+
x2-x1
x1x2=(x1-x2)(1-
1
x1x2),
因为x1<x2≤-1,x1-x2<0,1-
1
x1x2>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,故f(x)在(-∞,-1]上单调递增.
点评:
本题考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明.
考点点评: 本题主要考查函数的奇偶性的应用,用函数的单调性的定义证明函数的单调性,属于基础题.
1年前