已知，有穷数列{a n }共有2k项（整数k≥2），a 1 =2，设该数列的前 n 项和为S n 且满足S n+1 =a
| 已知，有穷数列{a n }共有2k项（整数k≥2），a 1 =2，设该数列的前 n 项和为S n 且满足S n+1 =aS n +2（n=1，2，…，2k-1），a>1。 （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n = log 2 a n ，求{b n }的前n项和T n ； （3）设  ，若 ，求满足不等式 时k的最小值。 |
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（1）由
， ①
（n=2，3，…，k）②
①-②得a n+1 =a·a n （n=2，3，…，2k-1）
由①式得S 2 =aS 1 +2，a 1 +a 2 =aS 1 +2，
解得a 2 =2a，
因为
所以{a n }是以2为首项，a为公比的等比数列
（n=1，2，…，2k）。
（2）∵
=log 2 a（n=2，3，…，2k），
∴{b n }是以b 1 =1为首项，以log 2 a（a>1）为公差的等差数列
∴
（a>1，n=1，2，…，2k）。
（3）
（n=1，2，…，2k）
当
时，
，n为正整数，知n≤k时，
当n≥k+1时，
即11k 2 -72k+36≥0，（11k-6）（k-6）≥0
解得k≥6或
所以满足条件的k的最小值为6。
， ①
（n=2，3，…，k）②①-②得a n+1 =a·a n （n=2，3，…，2k-1）
由①式得S 2 =aS 1 +2，a 1 +a 2 =aS 1 +2，
解得a 2 =2a，
因为
所以{a n }是以2为首项，a为公比的等比数列
（n=1，2，…，2k）。（2）∵
=log 2 a（n=2，3，…，2k），
∴{b n }是以b 1 =1为首项，以log 2 a（a>1）为公差的等差数列
∴
（a>1，n=1，2，…，2k）。（3）
（n=1，2，…，2k）当
时，
，n为正整数，知n≤k时，
当n≥k+1时，
即11k 2 -72k+36≥0，（11k-6）（k-6）≥0
解得k≥6或
所以满足条件的k的最小值为6。
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