是否存在幂集与自然数集等势的集合?

是否存在幂集与自然数集等势的集合?
不存在.因为不存在比自然数集小的无限集（基础集合论知识）,自然数是唯一的可数的无限集.因此不存在一个运算使得自然数集成为一个二阶循环交换群.
是否存在比连续统大的集合?
存在（基础集合论知识）.例：连续统的幂集比连续统大.连续统的幂集的幂集比连续统的幂集大.这些都属于不可数的无限集.
"从等势的角度来说,只存在两种无穷大的数集：自然数和连续统."是错误的,可能原话的意思是可数与不可数两种.
对你的短消息的回答：
用无限位的所有二进位数表示的集,可以看出这个集其实并不与自然数集等势,因为如果数一下它的元素个数会发现共有2^N 个元素,所以它与自然数的幂集等势,即与连续统等势.就算用任何进位数表示,结果都是一样.
你可以在书中找到这样一个反证法：无论在有理数集与无限位的小数集之间作出怎样的一一对应,都可以找到一个无限位的小数,而且并没有一个有理数与之对应.因此有理数集与无限位的小数集不存在一一对应.同理可证自然数集与二进位数集的情况.
因此如果二进位数集能成为一个二阶循环交换群的话,那它的基就会与自然数集等势.

我觉得你说得很对，存在

"从等势的角度来说，只存在两种无穷大的数集：自然数和连续统。"
这结论是错的，建议查查集合论的教材。
by the way,
"1>Gx是交换的；
2>对于任意a属于Gx，a#a=e，e是Gx中的单位元；"
2> 可推出 1>

设Card(K)=n.则由排列组合知识 有
Card(G)=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,n)=2^n=Card(2^K);
C(n,k)表示从n个元素中取k个元素的组合数。
显然对于有限群，你的结论是正确的。但并不能断定无限群也对。
另外，全体自然数对于异或运算，定义是否合法？
0的异或是？？...