（2011•郴州）如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B

（1）证明：∵PE⊥BC，PF⊥AC，∠C=90°，
∴∠PEQ=∠PFM=90°，∠EPF=90°，即∠EPQ+∠QPF=90°，
又∵∠FPM+∠QPF=∠QPM=90°，
∴∠EPQ=∠FPM，
∴△PQE∽△PMF；

（2）相等．
∵PB=BQ，∠B=60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∴∠BQP=60°，
∵△PQE∽△PMF，
∴∠PMF=∠BQP=60°，
又∠A+∠APM=∠PMF，
∴∠APM=∠A=30°，
∴PM=MA；

（3）AB=[BC/sin30°]=[10

1/2]=20，BP=x，则AP=20-x，
PE=xcos30°=

3
2x，PF=（20-x）•[1/2]，
S_△PEM=[1/2]PE×PF，
∴y=[1/2]•

3
2x•[20−x/2]
=

3
8（20x-x²）
=-

3
8（x-10）²+
25
3
2（0≤x≤10）．
∴当x=10时，函数的最大值为

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；解直角三角形．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质．关键是根据题意判断相似三角形，利用相似比及解直角三角形得出等量关系．