已知函数f（x）=alnx+x2 （a为实常数），e为自然对数的底数．

解题思路：（1）求出导函数，通过对导函数为0的根与区间[1，e]的三种关系，判断出函数的单调性，求出函数的极值及端点值，从中选出最小值．
（2）列出不等式有解，分离出参数a，构造函数g（x），通过导数求出g（x）的最小值，令a≥g（x）最大值．

（1）f′(x)＝
2x2+a
x(x＞0)，当[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]．
①若a≥-2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]_min=f（1）=1．
②若-2e²＜a＜-2，当x＝

−a
2时，f′（x）=0；当1≤x＜

−a
2时，f′（x）＜0，此时f（x）
是减函数；当

−a
2＜x≤e时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f(x)]min＝f(

−a
2)=[a/2ln(−
a
2)−
a
2]．
③若a≤-2e²，f′（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e²，x=e时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]_min=f（e）=a+e²．
综上可知，[f(x)]min＝

1(a≥−2)

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 求函数的最值，先通过导数求出函数的极值，再求出函数的两个端点值，选出函数的最值；解决函数有解问题，常分离参数转化为求函数的最值．