已知圆O：x2+y2=1，直线l：y＝33(x+4)．
已知圆O：x2+y2=1，直线l：y＝
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（1）设圆O与x轴的两交点是F1，F2，若从F1发出的光线经l上的点M反射后过点F2，求以F1，F2为焦点且经过点M的椭圆方程；
（2）点P是x轴负半轴上一点，从点P发出的光线经l反射后与圆O相切．若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P的坐标．
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解题思路：（1）利用对称求出2a，F1F2=2c，由题意可求椭圆方程；
（2）作出图形，由题意可知图中P的对称点到圆O的切线长最短，就是过原点O且与l垂直的直线与l′的交点．
（2）作出图形，由题意可知图中P的对称点到圆O的切线长最短，就是过原点O且与l垂直的直线与l′的交点．
解（1）如图，由光学几何知识可知，点F1关于l的对称点F1′
在过点A（-4，0）且倾斜角为60°的直线l′上．
在△AF2F1′中，椭圆长轴长2a＝MF1+MF2＝
F/1F2＝
19，
又椭圆的半焦距c=1，∴b2＝a2−c2＝
15
4，
∴所求椭圆的方程为
x2
19
4+
y2
15
4＝1；
（2）光线从射出经反射到相切经过的路程最短，即为l′上的点P′到圆O的切线长最短，
由几何知识可知，P′应为过原点O且与l垂直的直线与l′的交点，
这一点又与点P关于l对称，∴AP=AP′=2，故点P的坐标为（-2，0）．
点评：
本题考点： 直线和圆的方程的应用．
考点点评： 本题考查椭圆的定义，直线和圆的位置关系，对称知识，最值问题，知识点多；
考查数形结合的数学思想，等价转化的思想，是难题，高考易考点．
1年前
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