某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，

某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分；
②每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累积分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足14分时，答题结束淘汰出局；
③每位参加者按A，B，C，D顺序作答，直至答题结束．
假设甲同学对问题A，B，C，D回答正确的概率依次为

，

，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

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3adq21476 幼苗

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设A，B，C，D分别是第一、二、三、四个问题，用M_i （i=1，2，3，4）表示甲同学第i个问题回答正确，
用N_i （i=1，2，3，4）表示第i个问题回答错误，则M_i 与N_i （i=1，2，3，4）是对立事件．由题意得 P( M 1 )=
3
4 ，P( M 2 )=
1
2 ，P( M 3 )=
1
3 ，P( M 4 )=
1
4 ，
则 P( N 1 )=
1
4 ，P( N 2 )=
1
2 ，P( N 3 )=
2
3 ，P( N 4 )=
3
4 ．
（Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，
则Q=M₁ M₂ M₃ +N₁ M₂ M₃ M₄ +M₁ N₂ M₃ M₄ +M₁ M₂ N₃ M₄ +N₁ M₂ N₃ M₄
由于每题答题结果相互独立，
∴P（Q）=P（M₁ M₂ M₃ +N₁ M₂ M₃ M₄ +M₁ N₂ M₃ M₄ +M₁ M₂ N₃ M₄ +N₁ M₂ N₃ M₄ ）
=P（M₁ M₂ M₃ ）+P（N₁ M₂ M₃ M₄ ）+P（M₁ N₂ M₃ M₄ ）+P（M₁ M₂ N₃ M₄ ）+P（N₁ M₂ N₃ M₄ ）=
3
4 •
1
2 •
1
3 +
1
4 •
1
2 •
1
3 •
1
4 +
3
4 •
1
2 •
1
3 •
1
4 +
3
4 •
1
2 •
2
3 •
1
4 +
1
4 •
1
2 •
2
3 •
1
4 =
1
4
（Ⅱ）由题意可知随机变量ξ可能的取值为2，3，4，
由于每题的答题结果都是相对独立的，
∵ P(ξ=2)=P( N 1 N 2 )=
1
8 ，
P(ξ=3)=P( M 1 M 2 M 3 )+P( M 1 N 2 N 3 )=
3
4 •
1
2 •
1
3 +
3
4 •
1
2 •
2
3 =
3
8 ，
P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）=1-
1
8 -
3
8 =
1
2
∴ Eξ=2×
1
8 +3×
3
8 +4×
1
2 =
27
8 ．

1年前

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