已知长方体ABCD-A1B1C1D1，点O1为B1D1的中点．

（1）证明：连结AD₁交A₁D于点G，
∴在△AB₁D₁中，G为AD₁的中点，连结O₁G，
O₁为B₁D₁的中点，∴O₁G∥AB₁，
又O₁G⊂面A₁O₁D且AB₁⊄面A₁O₁D，
∴AB₁∥面A₁O₁D；
（2）若在线段BB₁上存在点E，使得A₁C⊥AE，
连结A₁B交AE于点M，又BC⊥面ABB₁A₁，且AE⊂面ABB₁A₁，
∴BC⊥AE，
又∵A₁C∩BC=C，且A₁C，BC⊂面A₁BC，
∴AE⊥面A₁BC，
∵A₁B⊂面A₁BC，
∴AE⊥A₁B，
在△AMB和△ABE中有：∠BAM+∠ABM=90°，∠BAM+∠BEA=90°，
∴∠ABM=∠BEA，同理：∠BAE=∠AA₁B，
∴Rt△ABE∽Rt△A₁AB，
∴
BE/AB＝
AB
AA1]，∵AB=[2/3]AA₁，∴BE=[2/3]AB=[4/9]BB₁，
即在线段BB₁上存在点E有[BE
BB1＝
4/9]．

点评：
本题考点： 直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面平行的判定定理，考查直线与平面垂直的判定与性质，考查存在性问题，注意运用假设，推结论，是一道中档题．

1年前

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