已知△ABC的三边分别为a、b、c，它们所对的角分别为A，B，C，若∠A=2∠B，b=4，c=5，则a=______．

解题思路：方法一：如图1，利用正弦定理[a/sinA]=[b/sinB]和条件∠A=2∠B可得[a/sin2B]=[b/sinB]，然后利用二倍角公式sin2B=2sinB•cosB可得cosB=[a/2b]，结合余弦定理cosB=

a2+c2−b2

2ac

可得[a/2b]=

a2+c2−b2

2ac

，然后把b=4，c=5代入等式就可求出a的值．
方法2：延长CA到点D，使得AD=AB，连接BD，如图2．根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠CAB=2∠D，结合条件∠CAB=2∠ABC可得∠ABC=∠D，从而证到△CAB∽△CBD，然后运用相似三角形的性质就可解决问题．

方法一：如图1，

根据正弦定理可得[a/sinA]=[b/sinB]．
∵∠A=2∠B，
∴[a/sin2B]=[b/sinB]．
∵sin2B=2sinB•cosB，
∴[a/2sinB•cosB]=[b/sinB]，
∴cosB=[a/2b]．
根据余弦定理可得：cosB=
a2+c2−b2
2ac，
∴[a/2b]=
a2+c2−b2
2ac，
∴b=4，c=5，
∴[a/8]=
a2+25−16
10a，
整理得：a²=36，
∵a＞0，∴a=6．
故答案为：6．
方法2：延长CA到点D，使得AD=AB，连接BD，如图2．

∵AD=AB，∴∠D=∠ABD．
∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D．
∵∠CAB=2∠ABC，
∴∠ABC=∠D．
∵∠C=∠C，
∴△CAB∽△CBD，
∴[BC/DC]=[CA/CB]，
∴BC²=CA•CD．
∵AC=b=4，CD=CA+AD=CA+AB=b+c=4+5=9，BC=a，
∴a²=4×9=36．
∵a＞0，∴a=6．
故答案为：6．

点评：
本题考点： 正弦定理与余弦定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了正弦定理、余弦定理、二倍角公式、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，由一定的难度．

由正弦定理得：a/sinA=a/sin2B=a/(2sinBcosB)=4/sinB，则cosB=a/8。
由余弦定理得：b^2=16=a^2+c^2-2accosB=a^2+25-5a^2/4、a^2=36、a=6。

在三角形ABC中由正弦定理有 a/sin2B=4/sinB，又sin2B=2sinBcosB，解得cosB＝a/8。
又由余弦定理有b2=a2+c2-2acosB，用c=5、b=4、 cosB＝a/8代入可求得a=6