Rt△ABC在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示，∠C=90°，AB=6，AC=3，点A在x轴上由原点O开始向右滑动，

（1）原点O与⊙G的位置关系是：点O在⊙G上；如图3，连结OG，∵∠AOB是直角，G为AB中点， ∴GO= AB=半径，故原点O始终在⊙G上；
（2）∵∠ACB=90°，AB=6，AC=3，
∴∠ABC=30°，连结OC，过点C作CD⊥x轴于点D，如图4，
∴∠AOC=∠ABC=30°，
在Rt△ODC中，tan∠COD= ，即tan30°= ，
∴y与x的关系式是： ，自变量x的取值范围是 ；
（3）∵由（2）中的结论可知，点C在与x轴夹角为30°的射线上运动，∴如图5，
点C的运动路径为：C ₁ C ₂ =OC ₂ -OC ₁ =6-3=3；
如图6，点C的运动路径为：C ₂ C ₃ =OC ₂ -OC ₃ =6-3 ；
∴总路径为：C ₁ C ₂ +C ₂ C ₃ =3+6-3 =9-3 。