（2011•北京）已知函数f(x)＝(x−k)2exk．

（Ⅰ）f′(x)＝2(x−k) e
x
k+
1
k(x−k)2e
x
k=
1
k(x2−k2)e
x
k，
令f′（x）=0，得x=±k
当k＞0时，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：

x（-∞，-k）-k（-k，k）k（k，+∞）
f′（x）+0-0+
F（x）4k²e^-10所以，f（x）的单调递增区间是（-∞，-k），和（k，+∞），单调递减区间是（-k，k）；
当k＜0时，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：

x（-∞，k）k（k，-k）-k（-k，+∞）
f′（x）-0+0-
F（x）04k²e^-1所以，f（x）的单调递减区间是（-∞，k），和（-k，+∞），单调递增区间是（k，-k）；
（Ⅱ）当k＞0时，有f（k+1）=e
k+1
k＞
1
e，不合题意，
当k＜0时，由（I）知f（x）在（0，+∞）上的最大值是f（-k）=
4k2
e，
∴任意的x∈（0，+∞），f（x）≤[1/e]，⇔f（-k）=
4k2
e≤[1/e]，
解得-[1/2≤k＜0，
故对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤
1
e]，k的取值范围是-[1/2≤k＜0．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f'（x）=0根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，特别是（II）的设置，有关恒成立问题一般转化为求函数 的最值问题，体现了转化的思想，增加了题目的难度．

1年前

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