booth算法的证明就是乘法那个

比较好的带符号数乘法的方法是布斯(Booth)算法.它采用相加和相减的操作计算补码数据的乘积.Booth算法对乘数从低位开始判断,根据两个数据位的情况决定进行加法、减法还是仅仅移位操作.判断的两个数据位为当前位及其右边的位(初始时需要增加一个辅助位0),移位操作是向右移动.在上例中,第一次判断被乘数0110中的最低位0以及右边的位(辅助位0),得00；所以只进行移位操作；第二次判断0110中的低两位,得10,所以作减法操作并移位,这个减法操作相当于减去2a的值；第三次判断被乘数的中间两位,得11,于是只作移位操作；第四次判断0110中的最高两位,得01,于是作加法操作和移位,这个加法相当于加上8a的值,因为a的值已经左移了三次.
　　一般而言,设y=y0,yly2…yn为被乘数,x为乘数,yi是a中的第i位(当前位).根据yj与yi+1的值,Booth算法表示如下表所示,其操作流程如下图所示.在Booth算法中,操作的方式取决于表达式(yi+1-yi)的值,这个表达式的值所代表的操作为：
　　0 无操作
　　+1 加x
　　-1 减x
　　Booth算法操作表示
　　yi yi+1 操作 说明
　　0 0 无 处于0串中,不需要操作
　　0 1 加x 1串的结尾
　　1 0 减x 1串的开始
　　1 1 无 处于1串中,不需要操作
　　乘法过程中,被乘数相对于乘积的左移操作可表示为乘以2,每次循环中的运算可表示为对于x(yi+1-yi)2^31-i项的加法运算(i=3l,30,…,1,0).这样,Booth算法所计算的结果 可表示为：
　　x×(0-y31)×2^0
　　+x×(y31-y30)×2^1
　　+x×(y30-y29)×2^2
　　…
　　[1]　+x×(y1-y0)×2^31
　　=x×(-y0×231 +y1×2^30 +y2×2^29+y31×2^0)
　　=x×y
　　例：用Booth算法计算2×(-3).
　　[2]补=0010, [-3]补=1101,在乘法开始之前,R0和R1中的初始值为0000和1101,R2中的值为0010.
　　在乘法的第一个循环中,判断R1的最低位和辅助位为10,所以进入步骤1c,将R0的值减去R2的值,结果1110送人R0,然后进入第二步,将R0和Rl右移一位,R0和R1的结果为11110110,辅助位为l.
　　在第二个循环中,首先判断Rl的最低位和辅助位为0l,所以进入步骤1b,作加法,R0+R2=1111+0010,结果0001送入R0,这时R0R1的内容为0001 0110,在第二步右移后变为0000 1011,辅助位为0.
　　在第三次循环中,判断位为10,进入步骤lc,R0减去R2,结果1110送入R0,R1不变；步骤2移位后R0和R1的内容为1111 01011,辅助位为1.
　　第四次循环时,因两个判断位为11,所以不作加减运算,向右移位后的结果为1111 1010,这就是运算结果(—6).
　　这个乘法的过程描述如下表所示,表中乘积一栏表示的是R0、R1的内容以及一个辅助位P,黑体字表示对两个判断位的判断.
　　用Booth补码一位乘法计算2 ×(-3)的过程
　　循环
　　步骤
　　乘积（R0,R1, P）
　　0
　　初始值
　　0000 1101 0
　　第一次循环
　　1c：减0010
　　1110 1101 0
　　2：右移1位
　　1111 0110 1
　　第二次循环
　　1b：加0010
　　0001 0110 1
　　2：右移1位
　　0000 1011 0
　　第三次循环
　　1c：减0010
　　1110 1011 0
　　2：右移1位
　　1111 0101 1
　　第四次循环
　　1a：无操作
　　1111 0101 1
　　2：右移1位
　　1111 1010 1
　　4．补码两位乘
　　补码两位乘运算规则是根据补码一位乘的规则,把比较yiyi+1的状态应执行的操作和比较yi-1yi 的状态应执行的操作合并成一步,便可得出补码两位乘的运算方法.
　　补码两位乘法运算规则如下
　　判断位yi-1y iyi+1
　　操作内容
　　000
　　[zi+1]补=2-2[zi]补
　　001
　　[zi+1]补=2-2{[zi]补+[x]补}
　　010
　　[zi+1]补=2-2{[zi]补+[x]补}
　　011
　　[zi+1]补=2-2{[zi]补+2[x]补}
　　100
　　[zi+1]补=2-2{[zi]补+2[-x]补}
　　101
　　[zi+1]补=2-2{[zi]补+ [-x]补}
　　110
　　[zi+1]补=2-2{[zi]补+-x}补}
　　111
　　[zi+1]补=2-2[zi]补
　　由上表可见,操作中出现加2[x]补和加2[-x]补,故除右移两位的操作外,还有被乘数左移一位的操作；而加2[x]补和加2[-x]补,都可能因溢出而侵占双符号位,故部分积和被乘数采用三位符号位.
　　例：[x]补=0.0101,[y]补=1.0101 求： [x? y]补.
　　求解过程如下表所示.其中乘数取两位符号位即11.0101,[-x]补=1.1011取三符号位为111.1011.
　　部分积
　　乘数
　　说 明
　　000.0000
　　+ 000.0101
　　1101010
　　判断位为010,加[x]补
　　000.0101
　　000.0001
　　+ 000.0101
　　0111010
　　→2位
　　判断位为010,加[x]补
　　000.0110
　　000.0001
　　+ 111.1011
　　01
　　1001110
　　→2位
　　判断位为110,加[-x]补
　　111.1100
　　1001
　　最后一步不移位,得[x? y]补
　　故[x? y]补=1.11001001
　　可见,与补码一位乘相比,补码两位乘的部分积多取一位符号位（共3位）,乘数也多取一位符号位（共2位）,这是由于乘数每次右移2位,且用3位判断,故采用双符号位更便于硬件实现.可见,当乘数数值位为偶数时,乘数取2位符号位,共需作n/2次移位,最多作n/2+1次加法,最后一步不移位；当n为奇数时,可补0变为偶数位,以简化逻辑操作.也可对乘数取1位符号位,此时共作n/2+1次加法和n/2+1次移位（最后一步移一位）.
　　对于整数补码乘法,其过程与小数乘法完全相同.为了区别于小数乘法,在书写上可将符号位和数值位中间的“.”改为“,”即可.
　　再补充一道例子,增加一下理解.呵呵
　　例1.37 设被乘数M=0111（7）,乘数Q=0011（3）,相乘过程如下：(其中的①②……是我自己加上去的)
　　A Q Q-1
　　①００００　００１１ ０ 初始值
　　②１００１ ００１１　０ A=A-M
　　③１１００　１００１　１　右移（第1次循环）
　　④１１１０　０１００　１　右移（第2次循环）
　　⑤０１０１　０１００　１　A=A+M
　　⑥００１０　１０１０　０　右移（第3次循环）
　　⑦０００１　０１０１　０　右移（第4次循环）
　　乘法运算结束后,所得结果共8位,A寄存器中是乘积的高位部分,Q寄存器中是乘积的低位部分,即乘积=0010101=(21)(十进制）
　　例１.38　设被乘数M=0111(7),乘数Q＝１１０１（－３）,相乘过程如下：
　　A Ｑ　Ｑ－１
　　００００　１１０１　０　初始值
　　１００１　１１０１　０　Ａ＝Ａ－Ｍ
　　１１００　１１１０　１　右移（第１次循环）
　　００１１　１１１０　１　Ａ＝Ａ＋Ｍ
　　０００１　１１１１　０　右移（第２次循环）
　　１０１０　１１１１　０　Ａ＝Ａ－Ｍ
　　１１０１　０１１１　１　右移（第３次循环）
　　１１１０　１０１１　１　右移（第４次循环）
　　乘积=11101011=(-21)(十进制)