设fn(x)=(cosx)^n+(cosx)^(n-1)+...+cosx,求证对任意自然数n,fn(x)=1在[0,3

设fn(x)=(cosx)^n+(cosx)^(n-1)+...+cosx,求证对任意自然数n,fn(x)=1在[0,3.14/2）内有唯一解

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证明：
∵x∈[0,π/2)
∴0＜cosx≤1且单调递减.
于是对于任意n∈N,均有0＜(cosx)^n≤1且单调递减.则必有
0＜fn(x)=(cosx)^n+(cosx)^(n-1)+...+cosx≤n,且fn(x)在[0,π/2)单调递减.
由于fn(0)=n≥1,fn(π/2)=0,根据fn(x)的连续性及单调性,知必有唯一解x0∈[0,π/2)满足方程fn(x)=1.

1年前

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