f′(x) |
ex |
gaoxue1123 幼苗
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(I)f′(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex
由f′(0)=0得b=-a∴f′(x)=[x2+(a+2)x]ex
又f′(2)=2e2
∴[4+2(a+2)]e2=2e2
故a=-3
令f′(x)=(x2-x)ex≥0得x≤0或x≥1
令f′(x)=(x2-x)ex<0得0<x<1
故:f(x)=(x2-3x+3)gx,单调增区间是(-∞,o],[1,+∞),单调减区间是(0,1).
(Ⅱ)假设方程g(x)=
2
3(m−1)2在区间(-2,m)上存在实数根
设x0是方程g(x)=
2
3(m−1)2的实根,
x20− x0 =
2
3(m−1)2,
令h(x)=x2−x−
2
3(m−1)2,从而问题转化为证明方程h(x)=x2−x−
2
3(m−1)2=0
在(-2,m)上有实根,并讨论解的个数
因为h(−2)=6−
2
3(m−1)2=−
2
3(m+2) (m−4) ,h(m)=m(m−1)−
2
3(m−1)2=
1
3(m+2)(m−1),
所以
①当m>4或-2<m<1时,h(2)-h(m)<0,所以h(x)=0在(-2,m)上有解,且只有一解
②当1<m<4时,h(-2)>0且h(m)>0,但由于h(0)=−
2
3(m−1)2 <0,
所以h(x)=0在(-2,m)上有解,且有两解
③当m=1时,h(x)=x2-x=0⇒x=0或x=1,所以h(x)=0在(-2,m)上有且只有一解;
当m=4时,h(x)=x2-x6=0⇒x=-2或x=3,
所以h(x)=0在(-2,4)上也有且只有一解,
综上所述,对于任意的m>-2,方程g(x)=
2
3(m−1)2在区间(-2,m)上均有实数根
且当m≥4或-2<m≤1时,有唯一的实数解;当1<m<4时,有两个实数解.
点评:
本题考点: 函数在某点取得极值的条件;函数解析式的求解及常用方法;函数与方程的综合运用;导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义,求函数f(x)的解析式体现了方程的思想;方程根的个数问题转化为求函数的最值问题,体现了转化的思想方法,再求函数最值中,又用到了分类讨论的思想;属难题.
1年前
1年前1个回答
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