设曲线y=f（x），其中y=f（x）是可导函数，且f（x）＞0．

解题思路：将曲边梯形的面积通过定积分S=∫t1f(x)dx求出来，曲边梯形绕x轴旋转一周所得立体体积通过V＝π∫t1f2(x)dx求出来；再根据条件V=πtS得到一个关于t的方程，方程两边对t求导即可求出f（t），从而求得曲线方程．

∵曲边梯形的面积为：S＝
∫t1f(x)dx，
旋转体的体积为：V＝π
∫t1f2(x)dx，
则由题可知：V=πtS，
即：π
∫t1f2(x)dx＝πt
∫t1f(x)dx，
化简为：
∫t1f2(x)dx＝t
∫t1f(x)dx，
上式两边对t同时求导，得：
f2(t)＝
∫t1f(x)dx+tf(t)，①，
①式两边继续求导，得：
2f（t）f′（t）=f（t）+tf′（t）+f（t），
化简可得
（2f（t）-t）f′（t）=2f（t）
而：y=f（t）
继续化简得：
[dt/dy+
1
2yt＝1，
这是一阶线性微分方程，其中：P(y)＝
1
2y，Q(y)＝1，
解之得：t＝c•y−
1
2]+
2
3y，其中C为待定常数
在①式中令t=1，则：f²（1）=0+f（1），
而f（x）＞0，
∴f（1）=1
代入t＝cy−
1
2+
2
3y，得：c＝
1
3，
∴t＝
1
3(
1

y+2y)，
所以该曲线方程为：2y+
1

y−3x＝0．

点评：
本题考点： 空间曲线方程的概念．

考点点评： 熟悉平面图形的面积公式和旋转体的体积公式，是解决这个问题的基础．但还需要熟悉建立微分方程和解一阶线性微分方程的技巧．此题方能解决．

应该是微分方程的题吧，我算了一下，感觉少个初值条件

答案如下图：