设数列{an}的前n项和为Sn，且满足S1=2，Sn+1=3Sn+2（n=1，2，3，…）．

解题思路：（I）由S_n+1=3S_n+2，知S_n=3S_n-1+2（n≥2），两式作差可得a_n+1=3a_n（n≥2），然后验证第二项与第一项的比是否满足，从而证明{a_n}是等比数列，然后根据等比数列的通项公式解之即可；
（II）根据数列{na_n}的特点可知利用错位相消法进行求和即可．

证明：（Ⅰ）∵S_n+1=3S_n+2，
∴S_n=3S_n-1+2（n≥2）
两式相减得a_n+1=3a_n（n≥2）
∵S₁=2，S_n+1=3S_n+2
∴a₁+a₂=3a₁+2即a₂=6则
a2
a1=3
∴
an+1
an=3（n≥1）
∴数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列
∴a_n=2×3^n-1（n=1，2，3，…）．
（Ⅱ）∵T_n=1•a₁+2•a₂+…+na_n=1×2+2×2×3¹+…+n×2×3^n-1，
∴3T_n=1×2×3+2×2×3²+…+（n-1）×2×3^n-1+n×2×3ⁿ，（9分）
∴-2T_n=2（1+3+3²+…3^n-1）-n×2×3ⁿ=2×
3n−1
3−1-n×2×3ⁿ=3ⁿ（1-2n）-1（11分）
∴Tn＝
(2n−1)3n+1
2 （13分）

点评：
本题考点： 数列的求和；等比数列的通项公式；等比关系的确定．

考点点评： 本题主要考查了等比数列的通项公式，以及求和，同时考查了利用错位相消法求和以及计算能力，属于中档题．

S(n)=3S（n-1）+2 a（n+1）=S(n+1)-S(n)=3Sn+2-3S（n-1）-2 =3【Sn-S（n-1）】=3an
a（n+1)/an=3 所以是等比数列

(1)S(n+1)-Sn=2Sn+2. 即a(n+1)=2Sn+2
又an=2S(n-1)+2. 两式相减，得
a(n+1)-an=2an. a(n+1)=3an
所以an是以2为首项，3为公比的等比数列，an=2''3^(n-1)
(2) Tn=2+2'2'3+3'2'3^2+.....+...

S(n+1)=3Sn+2
S(n+1)+1=3[Sn+1] 等比3首项为3
Sn+1=3*3^（n-1)=3^n
Sn=3^n-1 an=2*3^(n-1)等比
tn=2*3^0+2*3^1+……+2*3^(n-1)
3Tn=2*3^1+…+2*3^n
2Tn=2*3^n-[2*3^0+…2*3^(n-1)]
Tn=[3^n+1]/2

由S(n+1)=3Sn+2知Sn=3S(n-1)+2,相减,S(n+1)-Sn=3(Sn-S(n-1)),因为an=Sn-S(n-1)，a(n+1)=3an,所以an是等比数列首项为2公比是3.所以an=2*3^(n-1)。n-1),求Tn用错位相消得Tn=((2n+1)*3^n-1)2

S(n+1)+1=3(Sn+1)
{Sn+1}是等比数列。
Sn=3^n -1
an=Sn-S(n-1)=2*3^(n-1)
an/an=3,{an}是等比数列
Tn=a1+2a2+3a3+…+nan
qTn= a2+2a3+…+(n-1)an+na(n+1)
-2Tn=a1+a2+a3+…+an-na(n+1)
Tn=n*3^n-3^n/2-1/2