求助一道中值定理的题目.设f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且f(0)=0,试证ξf'(ξ)+2f(ξ)=

求助一道中值定理的题目.设f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且f(0)=0,试证ξf'(ξ)+2f(ξ)=f(ξ)
xujun657 1年前 已收到1个回答 举报
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consciens 幼苗

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ξf'(ξ)+2f(ξ) = f(ξ) ξf'(ξ)+f(ξ) = 0,
好像做不出来,有没错?

1年前 追问

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xujun657 举报

写错了......是 ξf'(ξ)+2f(ξ)=f'(ξ)

举报 consciens

　　作辅助函数 　　　　F(x) = (x-1)f(x)， 则F(x)在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且F(0) = F(1) = 0，于是利用Rolle定理，存在ξ∈（0,1），使…… 　　　　…… 即 ξf'(ξ)+2f(ξ)=f'(ξ)。

xujun657 举报

是F(x) = (x-1)^2*f(x)

举报 consciens

　　你是对的，我漏看了个“2”。这样看，改写ξf'(ξ)+2f(ξ)=f'(ξ)成 　　　　f'(ξ)/f(ξ)=-2/(ξ-1)， 相应的有 　　　　f'(x)/f(x)=-2/(x-1)， 两端积分（你们可能还没学），得 　　　　ln|f(x)| = ln[(x-1)^(-2)] + C1， 去对数，得 　　　　f(x) = C(x-1)^(-2)， 故可作辅助函数 　　　　F(x) = [(x-1)^2]*f(x)。
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