（2012•海淀区二模）在矩形ABCD中，点F在AD延长线上，且DF=DC，M为AB边上一点，N为MD的中点，点E在直线

解题思路：（1）易证四边形ABCD是正方形，证明△NGE≌△BAN，即可得到∠1+∠3=90°，则BN⊥NE，然后根据三角函数即可利用正方形的边长表示吃CE的长度，则可以得到[CE/BM]的值；
（2）延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE，易证△BMN≌△GDN，则可以证得NE是△BGE边上的中线，且NE=[1/2]BG，从而得到△BGE是直角三角形，从而得到BN⊥NE，然后证明△CHE是等腰直角三角形，而BM=CH，即可证得；
（3）同（2）可以延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE，可以证得NE是△BGE边上的中线，且NE=[1/2]BG，从而得到△BGE是直角三角形，然后证明△NGE≌△BAN，从而得到BN⊥NE；当AB≠BC时，E，C，D不在一条直线上，因而比值的关系不成立．

（1）BN与NE的位置关系是BN⊥NE；[CE/BM]=

2
2．
证明：如图，过点E作EG⊥AF于G，则∠EGN=90°．
∵矩形ABCD中，AB=BC，
∴矩形ABCD为正方形．
∴AB=AD=CD，∠A=∠ADC=∠DCB=90°．
∴EG∥CD，∠EGN=∠A，∠CDF=90°．
∵E为CF的中点，EG∥CD，
∴GF=DG=[1/2DF＝
1
2CD．
∴GE＝
1
2CD．
∵N为MD（AD）的中点，
∴AN=ND=
1
2AD＝
1
2CD．
∴GE=AN，NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB．
∴△NGE≌△BAN．
∴∠1=∠2．
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∴∠BNE=90°．
∴BN⊥NE．
∵∠CDF=90°，CD=DF，
可得∠F=∠FCD=45°，
CF
CD＝
2]．
于是
CE
BM＝
CE
BA＝
CE
CD＝

1
2CF
CD＝

2
2．

（2）在（1）中得到的两个结论均成立．
证明：如图，延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE，
交CD于点H．
∵四边形ABCD是矩形，


∴AB∥CG．
∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN．
∵N为MD的中点，
∴MN=DN．
∴△BMN≌△GDN．
∴MB=DG，BN=GN．
∵BN=NE，
∴BN=NE=GN．
∴∠BEG=90°．
∵EH⊥CE，
∴∠CEH=90°．
∴∠BEG=∠CEH．
∴∠BEC=∠GEH．
由（1）得∠DCF=45°．
∴∠CHE=∠HCE=45°．
∴EC=EH，∠EHG=135°．
∵∠ECB=∠DCB+∠HCE=135°，
∴∠ECB=∠EHG．
∴△ECB≌△EHG．
∴EB=EG，CB=HG．
∵BN=NG，
∴BN⊥NE．
∵BM=DG=HG-HD=BC-HD=CD-HD=CH=

点评：
本题考点： 四边形综合题．

考点点评： 本题是正方形的判定，全等三角形的判定与性质的综合应用，正确证明边之间的关系，正确作出辅助线是关键．