已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．

（1）由已知∵f（x）是二次函数，且f（0）=f（2）
∴对称轴为x=1
又最小值为1
设f（x）=a（x-1）²+1
又f（0）=3
∴a=2
∴f（x）=2（x-1）²+1=2x²-4x+3
（2）要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1
∴0＜a＜
1
2
（3）由已知2x²-4x+3＞2x+2m+1在[-1，1]上恒成立
化简得m＜x²-3x+1
设g（x）=x²-3x+1
则g（x）在区间[-1，1]上单调递减
∴g（x）在区间[-1，1]上的最小值为g（1）=-1
∴m＜-1

点评：
本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查待定系数法和二次函数的单调性和最值，须注意恒成立问题的转化．属简单题