已知,半圆O的半径OA=4,P是OA延长线上一点,过OP中点B做垂线交圆O于点C,

（1）连接OC,如图1,
∵弧AC ＝弧CD ,
∴∠DOC=∠AOC,
又∵BC垂直平分OP,
∴PC=OC,
而OA=4,
∴CP=OC=4,
∴∠P=∠POC,
∴∠CPO=∠COD,
而∠PDO=∠ODC,
∴△DOC∽△DPO,
∴DC：OD=OD：DP,即OD2=DC•DP,
∴DC（DC+4）=16,
∴CD=2倍根号5 - 2；
（2）作OE⊥CD,垂足为E,如图1,
则CE=1/2 CD=1/2 y,
∵∠P=∠P,∠PBC=∠PEO=90°,
∴△PBC∽△PEO,
∴PB /PE =PC /OP ,
而PB=1/2OP=（x+4）/2,PE=PC+CE=4+1/2 y,
∴【（x+4）/2】/4+1/2 y=4/ (x+4) ,
∴y=1/4 x^2+2x-4（4倍根号-4＜x＜4）；
（3）若点D在弧AC 外部时,
连接OC和OE．
显然可以得：Rt△CBP≌Rt△CBO,
∴∠CPB=∠COB=x（不妨设其大小为x）
∴∠DCO=2x．（三角形外角的性质定理）,
同时,PC=OC=R=4,
∵CE=DE（已知）
∴由垂径定理可知：OE⊥CD,
在△Rt△OEC和Rt△OED中,
∵EO＝EO
CO＝DO
CE＝ED
∴Rt△OEC≌Rt△OED （SSS）
∴∠ODC=∠OCD=2x．
同时,由锐角三角函数定义,
在Rt△OPE中．
tan∠APD=OE/PE ,
∵∠CBO=∠CEO=90°,
∴四点B,C,E,O四点共圆,
∴由同圆中,同弧上的圆周角相等可知
∠BEC=∠BOC=x,
∴∠DEF=∠BEC（对顶角相等）=∠BOC=x．
在△DEF中,由三角形外角性质定理,
∠ODC=∠F+∠DEF,
∴2x=∠F+x,
∴∠F=x．
∴△DEF为等腰三角形,
CE=DE=DF=1．
∴PE=PC+CE=4+1=5,
在Rt△ODE中,DE=1,OD=R=4,
∴由勾股定理可得OE=根号15,
∴tan∠P=OE/PE=根号15/5,
若点D在弧AC 上时,
同理可知 CE=DE=DF=1,PC=OC=r=4,
故PE=3,OE=根号15 ,
则tan∠P=OE/PE=根号15/ 3．