（2013•南开区一模）已知数列{an}满足a1=1，对一切n∈N*有an＞0，a2n+1−an+1＝2Sn，其中Sn=
（2013•南开区一模）已知数列{an}满足a1=1，对一切n∈N*有an＞0，
−an+1＝2Sn，其中Sn=a1+a2+…+an．
（ I ）求a2，a3，a4的值；
（II）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{bn}满足bn＝
，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn的表达式．
| a | 2 n+1 |
（ I ）求a2，a3，a4的值；
（II）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{bn}满足bn＝
| 1 |
| Sn |
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解题思路：（I）利用
−an+1＝2Sn，n取1，2，3，即可求a2，a3，a4的值；
（II）再写一式，两式相减，确定数列{an}是等差数列，即可求数列{an}通项公式；
（Ⅲ）确定数列{bn}的通项，利用裂项法可求Tn的表达式．
| a | 2 n+1 |
（II）再写一式，两式相减，确定数列{an}是等差数列，即可求数列{an}通项公式；
（Ⅲ）确定数列{bn}的通项，利用裂项法可求Tn的表达式．
（I）n=1时，
a22−a2＝2S1
∵a1=1，an＞0，∴a2=2
同理可得a3=3，a4=4；
（II）∵
a2n+1−an+1＝2Sn，
∴n≥2时，
a2n−an＝2Sn−1
两式相减可得（an+1+an）（an+1-an）=an+1+an
∵an+1+an＞0，∴an+1-an=1（n≥2）
当n=1时，也适合an+1-an=1
∴数列{an}是等差数列，
∴an=n；
（Ⅲ）由题意，Sn＝
n(n+1)
2，
∴bn＝
1
Sn=[2
n(n+1)=2（
1/n−
1
n+1]），
∴Tn=2(1−
1
2+
1
2−
1
3+…+
1
n−
1
n+1)=2(1−
1
n+1)=[2n/n+1]．
点评：
本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
考点点评： 本题考查等差数列的判定与通项的确定，考查裂项法求数列的和，确定数列的通项是关键．
1年前
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