一个数列求和问题（1/n）^n + (2/n)^n + (3/n)^n +.+ (n/n)^n求它的整数部分的值,证明之

clxgz123 1年前 已收到3个回答 举报
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哼哼哼哼哼呀 幼苗

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1.
n=1的情况就不需要说,以下说n>1时
这个和可以化简为
[1^n+2^n+3^n+...+(n-1)^n]/n^n + 1
只需要证明第一部分小于1,那么就证明了其和整数部分是1.
事实上,任意k≤n
k^n=[(k-1)+1]^n>(k-1)^n+n*(k-1)^(n-1)>2*(k-1)^n
所以n^n-(n-1)^n-(n-2)^n-...-1
>(n-1)^n-(n-2)^n-...-1
.
.
.
>1
所以[1^n+2^n+3^n+...+(n-1)^n]/n^n

1年前

8

3540032 幼苗

共回答了1个问题 举报

只要证明N=1是成立，再证明如果当N=K成立时，N=K+1也成立就可以证明公式的正确性。
如果学到微积分的话，你会发现自然数的平方和，立方和，4次方和，5次方和...等等，都有计算公式，它们都只是泰勒公式的一个简单特例而已。
给你一个可以推导出3次方和的方法，你可以用这个方法自己推导出4次方和，5次方和...等等。
已知
0次方和的求和公式∑N^0＝N+1
...

1年前

2

deathwen219 幼苗

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令s(n)=1/n）^n + (2/n)^n + (3/n)^n +......+ (n/n)^n,
则s(n)>=1;
又（k/n）=【1+(k-n)/n】
用导数很容易证明：1+x<=e^x,(令f(x)=e^x-x-1,可求其最小值为0）
所以：(k/n)^n=【1+(k-n)/n】^n<=e^(k-n)=(e^k)/e^n,
故s(n)<=[e^1...

1年前

2
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