设函数f(x)=-13x3+x2+(a2-1)x，其中a＞0．

解题思路：（1）求导函数，利用函数y=f（x）在x=-1处取得极值，可得f′（-1）=0，求出a的值，检验可得结论；
（2）先确定-

1

3

x2+x+a2-1=0有两个相异的实根x₁、x₂，再进行分类讨论，利用对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，即可求a的取值范围．

（1）求导函数，可得f′（x）=-x²+2x+（a²-1）
∵函数y=f（x）在x=-1处取得极值，
∴f′（-1）=0
∴-1-2+（a²-1）=0
∴a=±2
经检验，a=2符合题意；
（2）由题意，f(x)=-
1
3x3+x2+(a2-1)x=x（-
1
3x2+x+a2-1）=-
1
3x(x-x1)(x-x2)
∵函数f（x）有3个不同的零点，分别为0、x₁、x₂，
∴-
1
3x2+x+a2-1=0有两个相异的实根x₁、x₂，
∴△=1+[4/3(a2-1)＞0，∴a＜-
1
2]（舍去），或a＞[1/2]
且x₁+x₂=3
∵x₁＜x₂，∴2x₂＞x₁+x₂=3，∴x₂＞[3/2]＞1
①若x₁≤1＜x₂，则f（1）=-
1
3(1-x1)(1-x2)≥0，而f（x₁）=0，不符合题意；
②若1＜x₁＜x₂，则对任意的x∈[x₁，x₂]，有x-x₁≥0，x-x₂≤0，
∴f(x)=-
1
3x(x-x1)(x-x2)≥0
又f（x₁）=0，∴f（x）在[x₁，x₂]上的最小值为0
∴对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，等价于f（1）=a2-
1
3＜0
∴-

3
3＜a＜

3
3
综上可得a的取值范围为(
1
2，

3
3)．

点评：
本题考点： 根据实际问题选择函数类型；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．